量子糾錯是在有噪聲硬件上實現可靠量子計算機的基石。基于拓撲碼的傳統方法已取得了實驗進展，但由于編碼率低，通常需要數百萬個物理量子比特才能夠支撐實際應用。為突破這一瓶頸，學界轉向對量子低密度奇偶校驗碼的研究，這類編碼在理論上可降低量子糾錯所需的資源開銷。其中，雙變量雙循環量子糾錯碼尤為引人關注。它在近期可實現的量子硬件條件下，有望將資源需求減少一個數量級。
近日，中國科學院理論物理研究所研究團隊與中國科學技術大學、北京大學的科研人員，在此類量子糾錯碼的理論研究方面取得進展。該研究融合代數、幾何與拓撲方法，建立了研究BB碼的拓撲理論框架。
研究團隊注意到BB碼與分形子物理在研究方法上的共通性，借鑒分形子領域發展出的代數工具，并結合Gr?bner基等方法，實現了對任意給定BB碼拓撲性質的高效表征。研究發現，這類量子糾錯碼普遍具有以任意子為特征激發的拓撲序，但其任意子激發在短程移動中呈現出類似分形子的特征，即移動過程必然伴隨能量的改變。
進一步，該研究揭示了一種在BB碼中普遍存在的“拓撲阻挫”現象。不同于傳統拓撲碼，BB碼在環面上的基態簡并度一般小于任意子總數。研究認為，該現象與任意子的準分形移動行為相關，二者共同反映平移對稱性富化拓撲序這一深層次的拓撲物態結構。同時，研究利用Koszul復形的對稱性質，闡明了阻挫情形下邏輯算符與任意子激發之間的精確對應關系。
在方法論層面，該研究利用Gr?bner基等代數方法實現了對BB碼的逐個高效表征，并引入基于Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko定理的代數幾何方法，揭示了在近環面碼布局下BB碼拓撲序的一般變化規律。通過Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko定理，任意子的種類可通過計算由相互作用形式決定的牛頓多面體的混合體積獲得。
上述研究揭示了量子糾錯、任意子激發、對稱性與拓撲物態之間的內在聯系，為發展新型高性能量子糾錯碼提供了理論支撐。利用這些數學物理原理，科研人員在同期發表于《物理評論X輯-量子》（PRX Quantum）的相關工作中，將BB碼推廣到扭轉邊界條件情形，實現了糾錯效率的提升。
相關研究成果發表在《物理評論快報》（Physical Review Letters）上。研究工作得到國家自然科學基金委員會和中國科學院等的支持。
論文鏈接
環面上任意子的類分形子移動行為，以及通過牛頓多面體（紅色與綠色三角形）的混合體積（紫色平行四邊形）計算任意子種數的代數幾何方法，其中牛頓多面體由相互作用量子比特的相對位置確定。
本文鏈接：融合代數、幾何與拓撲方法的量子糾錯理論研究獲進展http://www.sq15.cn/show-12-1663-0.html
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